Зависимые исходы: где ломается математика
Вероятность победы хозяев оценена в 60%, вероятность тотала больше 2,5 гола в 50%. Значит ли это, что хозяева выиграют в результативном матче с вероятностью 30%? Только если два события независимы. Когда они связаны, отдельные оценки еще не дают ответа о совместном исходе.
Ошибка появляется в момент, когда знакомое умножение подменяет проверку условий. Само действие 0,60 × 0,50 выполнено верно. Необоснованным может быть предположение, что для второго исхода ничего не меняется при выполнении первого.
Что именно должно произойти одновременно
Обозначим событие А как победу хозяев в основное время, событие Б как минимум три гола обеих команд за тот же период. Сочетание «А и Б» означает одновременное выполнение обоих условий. Счет 2:1 подходит, 1:0 не подходит, 2:2 тоже не подходит.
Сначала полезно выписать именно такие примеры. Они обнаруживают путаницу между союзами «и» и «или», между основным временем и проходом дальше. Вероятность хотя бы одного из двух событий решает другую задачу. А если периоды учета различаются, даже знакомые названия рынков могут скрывать совсем другую комбинацию.
Полезные статьи
Для дальнейшего расчета представим учебную модель из 100 равновероятных сценариев матча. Это придуманный набор для проверки формул, а не статистика реальных команд и не рекомендация ставки. Каждый сценарий попадает ровно в одну ячейку таблицы.
Совместная таблица показывает скрытую связь
| Событие | Б | Не Б |
|---|---|---|
| А | 40 | 20 |
| Не А | 10 | 30 |
| Всего | 50 | 50 |
По строкам получаем 60 побед хозяев из 100 сценариев. По столбцам получаем 50 результативных матчей из 100. Отдельные вероятности остались теми же: 60% и 50%.
Но оба условия выполнены в 40 сценариях, поэтому совместная вероятность равна 40 / 100 = 40%. Механическое произведение отдельных вероятностей дало 30%. Расхождение составляет 10 процентных пунктов. Его нельзя устранить более аккуратным округлением: мы использовали неподходящее допущение.
Обратите внимание на пересечение «Не А» и «Не Б» с числом 30. В этой ячейке одновременно не победили хозяева и не состоялся верховой матч. Это тоже часть зависимости, а не лишняя строка. Проверять связь только по удачным комбинациям нельзя: все четыре ячейки вместе описывают исходный набор.
Полезные статьи
Условная вероятность меняет знаменатель
Теперь спросим: как часто проходил тотал больше 2,5 среди сценариев, где хозяева победили? Мы уже ограничили выборку строкой А. В ней 60 сценариев, из которых 40 подходят условию Б.
P(Б | А) = 40 / 60 = 2 / 3, или примерно 66,67%.
Вертикальная черта читается «при условии». Она не означает, что победа хозяев уже известна во время оформления ставки. Это способ разложить предматчевую вероятность на части: сначала вероятность А, затем вероятность Б внутри случаев А.
Общее правило умножения при P(А) больше нуля выглядит так:
Полезные статьи
P(А и Б) = P(А) × P(Б | А).
Подставляем числа без промежуточного округления: 0,60 × (2 / 3) = 0,40. Можно проверить в обратном порядке. Среди 50 верховых сценариев хозяева победили в 40, значит P(А | Б) = 0,80. Получаем 0,50 × 0,80 = 0,40. Два пути приводят к одной ячейке.
Условные вероятности при этом разные: 66,67% и 80%. Фразы «победа при верховом матче» и «верховой матч при победе» меняют группу, внутри которой идет подсчет. Переставлять их в формуле без изменения первого множителя нельзя.
Независимость нужно обосновать
Для независимых событий знание А не меняет вероятность Б: P(Б | А) = P(Б). Тогда общая формула действительно упрощается до произведения отдельных вероятностей. В нашей таблице 66,67% не равно 50%, поэтому это условие не выполнено.
Полезные статьи
Для ставки на победу и тотал связь не обязана всегда иметь одинаковую силу или даже одинаковое направление. Все зависит от конкретной модели команд и распределения счетов. Наши 40% нельзя переносить на любой матч с отдельными оценками 60% и 50%.
Разные названия рынков не подтверждают независимость. Разные матчи тоже не доказывают ее автоматически: у событий могут быть общие обстоятельства. Но и общий турнир сам по себе еще не дает численной поправки. Для расчетной связи нужны данные или явно заданная модель.
При работе с историей считайте все ячейки на одной и той же выборке. Нельзя взять победы из домашних матчей текущего сезона, тоталы из всех игр за три года, а пересечение из пяти последних встреч. Полученные доли будут относиться к разным наборам условий.
Два предельных случая, которые легко проверить
Представим победу хозяев и их непоражение за один период. Каждая победа уже входит в непоражение. Совместная вероятность равна вероятности победы: дополнительное условие не отсекает ни одного подходящего сценария. Умножение двух отдельных вероятностей искусственно уменьшило бы ответ.
Теперь возьмем победу хозяев и ничью за то же основное время. Одновременно они случиться не могут, поэтому вероятность пересечения равна нулю. Взаимное исключение не является независимостью, если оба события по отдельности имеют ненулевую вероятность.
Есть и общая проверка здравого смысла. Пересечение не может быть вероятнее любого своего условия. При вероятностях 60% и 50% оно не выше 50%. Нижняя граница равна максимуму из нуля и суммы вероятностей минус 100%, то есть 10%. Одни только отдельные оценки здесь допускают диапазон от 10% до 50%, а не единственный ответ 30%.
Как это связано с коэффициентом купона
Для вероятности 40% цена без маржи равна 1 / 0,40 = 2,50. Для ошибочной оценки 30% получилась бы цена около 3,33. Это учебные справедливые цены при заданных вероятностях. Принципы перехода от оценки шансов к цене разобраны в материале о том, как найти честный коэффициент.
Фактическая котировка комбинации определяется условиями продукта. Например, обычный экспресс может не принимать связанные выборы, а специальный конструктор сочетаний предлагает собственную цену. Возможность добавить два рынка в интерфейсе не доказывает, что вероятность их пересечения равна произведению отдельных вероятностей.
Не смешивайте оценку шансов и расчет уже принятого купона. Если одно условие отменено, начинают действовать правила возврата, а не правило независимости. Это отдельная задача, для которой пригодится разбор экспресса с возвратом.
Перед объединением исходов запишите их точные условия, проверьте включение и несовместимость, затем найдите совместную или условную вероятность. Если у вас есть только две отдельные оценки, пометьте независимость как непроверенное допущение. Формула не восполнит отсутствующее знание о связи событий.