Как найти честный коэффициент
В линии стоят коэффициенты 1,50, 4,00 и 8,00. Уберите из нее маржу тремя способами, и честная цена последнего исхода получится разной: около 8,33, 9,00 или 8,86. Ошибки в арифметике нет. Методы по-разному распределяют надбавку между фаворитом и аутсайдером.
Честным коэффициентом обычно называют цену без маржи: при вероятности исхода p она равна 1 / p. Но вероятность нельзя однозначно восстановить по одной букмекерской линии. Можно получить оценку при выбранном допущении о марже и затем проверить, насколько полезно это допущение.
Подготовьте один полный рынок
Для расчета возьмем учебный футбольный рынок на основное время: П1 = 1,50, Х = 4,00, П2 = 8,00. Это вымышленные котировки одного источника в один момент. Три исхода взаимно исключают друг друга и покрывают все результаты завершенного матча в заданном периоде. Возвраты, комиссии и бонусы в пример не входят.
Переведем десятичные коэффициенты O в обратные величины q = 1 / O. Получим 0,666667 для П1, 0,250000 для ничьей и 0,125000 для П2. Их сумма S = 1,041667, то есть 104,1667%. Избыток над единицей S − 1 составляет примерно 0,041667.
Полезные статьи
Это избыток суммы обратных коэффициентов, а не уже заработанная букмекером доля денег. Разница между этими величинами разобрана в статье о том, где находится прибыль в букмекерской марже. Здесь наша задача уже: привести сумму оценок вероятности к единице и увидеть цену принятого допущения.
Не собирайте исходную тройку из случайных снимков линии. Коэффициент П1 утром и П2 после новости о составе относятся к разной информации. Лучшие цены трех разных букмекеров тоже не являются единой линией с одной общей надбавкой. Из них можно решать другие задачи, но интерпретация удаления маржи изменится.
Пропорциональный метод: сохранить соотношение шансов
Нормализация делит каждую обратную котировку на общую сумму:
pi = qi / S, честный коэффициент = 1 / pi.
Полезные статьи
Для П1: (2 / 3) / (25 / 24) = 0,64. Для ничьей: 0,25 / (25 / 24) = 0,24. Для П2: 0,125 / (25 / 24) = 0,12. Получилась полная тройка 64%, 24% и 12%, сумма ровно 100%.
Честные коэффициенты равны 1,5625, примерно 4,1667 и 8,3333. Тот же результат можно получить короче: умножить каждую исходную котировку на S. Это удобная независимая проверка вычислений.
Метод сохраняет отношения между q: если одна величина была вдвое больше другой, их очищенные оценки также различаются вдвое. Относительное уменьшение одинаково для всех исходов. В нашем примере каждая обратная котировка сокращается на 4% от своего исходного значения. Это следствие формулы, а не измеренная особенность реального букмекера.
Аддитивный метод: вычесть одинаковую величину
Другой вариант распределяет избыток поровну между n исходами:
Полезные статьи
pi = qi − (S − 1) / n.
При n = 3 из каждой обратной котировки вычитаем 0,0138889, то есть примерно 1,38889 процентного пункта. Вероятности становятся равны 65,2778%, 23,6111% и 11,1111%. Обратные им честные коэффициенты: 1,5319, 4,2353 и 9,0000.
Для маленькой исходной вероятности одинаковое абсолютное вычитание означает более сильное относительное уменьшение. Поэтому оценка аутсайдера здесь ниже, чем при нормализации, а его честная цена выше.
У способа есть жесткое ограничение: если qi меньше вычитаемого значения, получится отрицательная вероятность. При равенстве получится ноль и не будет конечного честного коэффициента. Нельзя молча заменить отрицательное число нулем и продолжить: после такой правки изменятся и сумма, и сам метод. Для каждой строки заранее проверяйте, что все очищенные вероятности положительны.
Полезные статьи
Степенной метод: подобрать общий показатель
Степенной способ использует преобразование:
pi = qik, причем сумма всех qik равна 1.
Для нашей тройки нужно решить уравнение (2 / 3)k + (1 / 4)k + (1 / 8)k = 1. Получается k ≈ 1,049030154. Оценки вероятности составляют примерно 65,3544%, 23,3572% и 11,2884%. Честные коэффициенты: 1,5301, 4,2813 и 8,8587.
В обычной линии с O больше 1 и S больше 1 показатель k будет больше 1. Все q находятся между нулем и единицей, поэтому увеличение степени уменьшает каждое значение. Сумма непрерывно убывает, и нужное решение единственно.
Для самостоятельного расчета подойдет деление отрезка пополам. Начните с k = 1, увеличивайте верхнюю границу, пока сумма степеней не станет меньше 1. Затем проверяйте середину отрезка. Если сумма больше 1, сдвигайте нижнюю границу к середине, если меньше, сдвигайте верхнюю. Продолжайте до нужной точности суммы, сохраняя полные числа до последнего шага.
Отношение новой вероятности к исходной равно qk − 1. При k больше 1 оно меньше для меньшего q. Значит, аутсайдер получает более сильное относительное уменьшение, чем фаворит. Формула объясняет этот эффект без догадки о том, какую наценку на самом деле назначил букмекер.
Одна линия, три набора честных цен
В таблице приведены только честные десятичные коэффициенты, округленные до четырех знаков. Вероятности для каждого метода приведены выше. При обратном пересчете из округленной таблицы сумма может слегка отличаться от 100%.
| Метод | Честные цены |
|---|---|
| Деление на S | П1: 1,5625 Х: 4,1667 П2: 8,3333 |
| Вычитание | П1: 1,5319 Х: 4,2353 П2: 9,0000 |
| Степень k | П1: 1,5301 Х: 4,2813 П2: 8,8587 |
Теперь отдельно представим доступную цену 8,70 на П2 с точно такими же условиями расчета. Ее не подставляем в исходную тройку: она нужна только для сравнения с полученными оценками. Ожидаемый чистый результат на единицу ставки без комиссий равен p × 8,70 − 1.
При пропорциональной оценке получаем 0,12 × 8,70 − 1 = +0,044, или +4,4%. При аддитивной получается около −3,33%, при степенной около −1,79%. Все три числа относятся к учебным допущениям. Они не являются прогнозом фактической доходности.
Выбор метода здесь меняет даже знак ожидания. Если назвать 8,70 выгодной ценой только потому, что один способ дал 8,33, мы спрячем главный источник неопределенности. Стоит сохранить весь разброс оценок и отдельно обосновать, почему выбранная вероятность заслуживает доверия.
Как выбирать метод для своей аналитики
Начните с пропорционального расчета как понятной исходной версии. Затем сравните его со способом, который иначе обрабатывает фаворитов и аутсайдеров. Проверка полезна прежде всего там, где небольшое изменение вероятности меняет ваш вывод.
Если есть исторические данные, сохраняйте полные линии на одном выбранном этапе до начала событий. Разделите данные по времени: настройку выполняйте на раннем отрезке, проверку на последующем. Сопоставляйте прогнозные вероятности с частотами исходов в группах близких оценок и используйте одну и ту же меру ошибки для всех методов. Один выигравший аутсайдер не подтверждает калибровку вероятности.
Не выбирайте способ задним числом для каждого матча по тому, какой дал нужную ставку. Заранее определите метод, допустимые рынки и правила работы с пропусками. Отдельно следите за ошибками в исходных котировках и одинаковым периодом учета результата.
При объединении нескольких источников не начинайте с механического среднего коэффициента. Обратное преобразование нелинейно: среднее чисел O и обратная величина среднего 1 / O решают разные задачи. Разбор того, как не ошибиться со средним коэффициентом, помогает увидеть эту разницу. Сначала получите сопоставимые оценки вероятности и явно выберите правило их объединения.
В рабочей записи оставьте исходную тройку, ее время, сумму S, название метода, параметры и неокругленные вероятности. Честная цена тогда будет воспроизводимым расчетом с известными допущениями. Ее точность как оценки реального события придется подтверждать отдельно.