Средний коэффициент: как не ошибиться

В журнале ставок стоят три коэффициента: 1,25, 2,00 и 5,00. Их среднее равно 2,75. Если перевести его в вероятность, получится 36,36%. Но среднее вероятностей, рассчитанных по каждой из этих котировок, равно 50%. Калькулятор не сломался: мы задали ему два разных вопроса.

Путаница начинается, когда в отчете пишут просто «средний коэффициент», а затем используют число и для описания цен, и для оценки проходимости. Разберем, где какой расчет уместен и что нужно подписать рядом с результатом.

Сначала определим, что усредняем

Возьмем три обычных ординара на разные матчи. У каждого только два варианта денежного расчета: полный выигрыш или полный проигрыш. Возвратов, половинчатых результатов, бонусов и досрочной продажи в примере нет. Используем десятичные коэффициенты, в которых потенциальная выплата включает поставленную сумму.

Каждую строку пока считаем одинаково значимой. Это среднее по трем ставкам, а не по рублям оборота. Матчи еще не закончились, поэтому мы описываем принятые цены, а не состоявшийся заработок.

Для такого ординара величина 1 / коэффициент показывает порог безубыточности отдельной ставки без дополнительных удержаний. Ее часто называют подразумеваемой вероятностью. Она получается из цены и не доказывает, что реальный шанс исхода именно такой. Причина, по которой котировки нельзя автоматически принимать за точные шансы, разобрана в статье про маржу букмекера.

• Ставка А: коэффициент 1,25, подразумеваемая вероятность 80%.
• Ставка Б: коэффициент 2,00, подразумеваемая вероятность 50%.
• Ставка В: коэффициент 5,00, подразумеваемая вероятность 20%.

Эти 80%, 50% и 20% относятся к разным событиям. Складывать их и искать в полученных 150% маржу одного рынка нельзя: перед нами не полный набор взаимоисключающих исходов одного матча.

Первый способ: усреднить сами коэффициенты

Арифметическое среднее получается сложением значений и делением на число строк:

Средний коэффициент = (1,25 + 2,00 + 5,00) / 3 = 2,75.

Это корректная характеристика выбранных цен. Если по каждому ординару поставить по 100 рублей и все три выиграют, выплаты составят 125, 200 и 500 рублей. Всего 825 рублей на 300 рублей ставок. Отношение 825 / 300 тоже равно 2,75.

Условие «все выиграли» здесь принципиально. Мы проверяем смысл среднего множителя выплаты, а не прогнозируем такой результат. По еще не рассчитанным ставкам нельзя записать 825 рублей в доход.

Теперь переведем полученное среднее в проценты:

100 / 2,75 = 36,36% после округления.

Число отвечает на вопрос о пороге для отдельной обычной ставки с коэффициентом 2,75. Оно не является средним трех процентов из списка. В наборе вообще нет ставки по 2,75: это сводный показатель, а не четвертый купон.

Второй способ: сначала перевести каждую цену

Если задача состоит в том, чтобы описать среднюю подразумеваемую вероятность по строкам, порядок действий другой. Сначала переводим каждую котировку в проценты, затем усредняем:

Средняя подразумеваемая вероятность = (80% + 50% + 20%) / 3 = 50%.

При необходимости эту величину можно представить обратно в формате коэффициента: 100 / 50 = 2,00. Так получается гармоническое среднее исходных котировок. Для нашего набора его можно записать сразу:

3 / (1 / 1,25 + 1 / 2,00 + 1 / 5,00) = 2,00.

Название не делает метод более профессиональным или более точным во всех задачах. Он просто сохраняет другой смысл: сначала каждому наблюдению сопоставляется обратная величина. В отчете лучше писать «среднее подразумеваемых вероятностей: 50%», чем прятать этот смысл за вторым «средним коэффициентом».

Почему порядок действий меняет результат

Переход от коэффициента к обратной величине нелинеен. Изменение котировки на единицу не дает одинакового изменения процентов. При переходе от 1,25 к 2,25 подразумеваемая вероятность падает с 80% примерно до 44,44%. При переходе от 4,00 к 5,00 она падает с 25% до 20%.

Поэтому нельзя сначала смешать цены, а затем ожидать, что обратное преобразование сохранит среднее процентов. На положительных значениях гармоническое среднее не превышает арифметического. Если все котировки одинаковые, оба метода дадут одно число. При разных значениях они расходятся.

Из этого не следует, что гармоническое среднее предсказывает будущую проходимость. Оно по-прежнему собрано из букмекерских цен. Чтобы говорить об ожидаемом числе выигрышей, нужны обоснованные вероятности событий, а для прибыли еще и связь каждой вероятности с ее коэффициентом и суммой ставки.

Одинаковая проходимость может дать разный итог

Вернемся к трем ставкам по 100 рублей. Если выиграет только А по 1,25, выплата составит 125 рублей, а чистый результат всего набора будет 125 − 300 = −175 рублей. Если выиграет только В по 5,00, получим 500 − 300 = +200 рублей.

В обоих случаях выиграла одна ставка из трех. Средний коэффициент всех купонов тоже одинаковый: 2,75. Но результат различается, потому что выиграли разные котировки. Проходимости и среднего коэффициента всех ставок недостаточно для восстановления денежного итога.

Для фактического результата нужны выплаты по конкретным выигравшим купонам и суммы всех ставок. Не заменяйте этот расчет умножением числа выигрышей на среднюю цену всей выборки. Если отчет ведется в юнитах, сначала зафиксируйте стоимость единицы и размер каждой ставки: сами единицы эту ошибку не устраняют.

Что меняется при разных суммах ставок

Среднее по строкам дает одинаковый вес купону на 100 рублей и купону на 700 рублей. Для описания того, по каким ценам размещены деньги, может понадобиться среднее с весами по суммам.

Пусть на А поставили 100 рублей, на Б 200, на В 700. Тогда взвешенный средний коэффициент равен (100 × 1,25 + 200 × 2,00 + 700 × 5,00) / 1 000 = 4,025. Это уже другой показатель, хотя сами три котировки не изменились.

Если усреднить подразумеваемые вероятности с теми же денежными весами, получится (100 × 80% + 200 × 50% + 700 × 20%) / 1 000 = 32%. Обратная величина будет 3,125, а не 4,025. Разница в порядке действий никуда не исчезла.

Как подписать показатель без двусмысленности

Рядом со средним укажите четыре вещи:

• Что усредняли: десятичные коэффициенты или подразумеваемые вероятности.
• Какие строки включили: все принятые ставки, только рассчитанные или только выигравшие.
• Какие веса использовали: одна ставка равна одной строке либо вес зависит от суммы.
• Как обошлись с возвратами и другими особыми расчетами.

Для обычных ординаров из нашего примера достаточно записи: «Три ставки, равный вес строк, средний принятый коэффициент 2,75, средняя подразумеваемая вероятность 50%». Она сохраняет оба результата и не превращает их в обещание проходимости или прибыли.