Зависимые исходы: где ломается математика

Вероятность победы хозяев оценена в 60%, вероятность тотала больше 2,5 гола в 50%. Значит ли это, что хозяева выиграют в результативном матче с вероятностью 30%? Только если два события независимы. Когда они связаны, отдельные оценки еще не дают ответа о совместном исходе.

Ошибка появляется в момент, когда знакомое умножение подменяет проверку условий. Само действие 0,60 × 0,50 выполнено верно. Необоснованным может быть предположение, что для второго исхода ничего не меняется при выполнении первого.

Что именно должно произойти одновременно

Обозначим событие А как победу хозяев в основное время, событие Б как минимум три гола обеих команд за тот же период. Сочетание «А и Б» означает одновременное выполнение обоих условий. Счет 2:1 подходит, 1:0 не подходит, 2:2 тоже не подходит.

Сначала полезно выписать именно такие примеры. Они обнаруживают путаницу между союзами «и» и «или», между основным временем и проходом дальше. Вероятность хотя бы одного из двух событий решает другую задачу. А если периоды учета различаются, даже знакомые названия рынков могут скрывать совсем другую комбинацию.

Для дальнейшего расчета представим учебную модель из 100 равновероятных сценариев матча. Это придуманный набор для проверки формул, а не статистика реальных команд и не рекомендация ставки. Каждый сценарий попадает ровно в одну ячейку таблицы.

Совместная таблица показывает скрытую связь

По строкам получаем 60 побед хозяев из 100 сценариев. По столбцам получаем 50 результативных матчей из 100. Отдельные вероятности остались теми же: 60% и 50%.

Но оба условия выполнены в 40 сценариях, поэтому совместная вероятность равна 40 / 100 = 40%. Механическое произведение отдельных вероятностей дало 30%. Расхождение составляет 10 процентных пунктов. Его нельзя устранить более аккуратным округлением: мы использовали неподходящее допущение.

Обратите внимание на пересечение «Не А» и «Не Б» с числом 30. В этой ячейке одновременно не победили хозяева и не состоялся верховой матч. Это тоже часть зависимости, а не лишняя строка. Проверять связь только по удачным комбинациям нельзя: все четыре ячейки вместе описывают исходный набор.

Условная вероятность меняет знаменатель

Теперь спросим: как часто проходил тотал больше 2,5 среди сценариев, где хозяева победили? Мы уже ограничили выборку строкой А. В ней 60 сценариев, из которых 40 подходят условию Б.

P(Б | А) = 40 / 60 = 2 / 3, или примерно 66,67%.

Вертикальная черта читается «при условии». Она не означает, что победа хозяев уже известна во время оформления ставки. Это способ разложить предматчевую вероятность на части: сначала вероятность А, затем вероятность Б внутри случаев А.

Общее правило умножения при P(А) больше нуля выглядит так:

P(А и Б) = P(А) × P(Б | А).

Подставляем числа без промежуточного округления: 0,60 × (2 / 3) = 0,40. Можно проверить в обратном порядке. Среди 50 верховых сценариев хозяева победили в 40, значит P(А | Б) = 0,80. Получаем 0,50 × 0,80 = 0,40. Два пути приводят к одной ячейке.

Условные вероятности при этом разные: 66,67% и 80%. Фразы «победа при верховом матче» и «верховой матч при победе» меняют группу, внутри которой идет подсчет. Переставлять их в формуле без изменения первого множителя нельзя.

Независимость нужно обосновать

Для независимых событий знание А не меняет вероятность Б: P(Б | А) = P(Б). Тогда общая формула действительно упрощается до произведения отдельных вероятностей. В нашей таблице 66,67% не равно 50%, поэтому это условие не выполнено.

Для ставки на победу и тотал связь не обязана всегда иметь одинаковую силу или даже одинаковое направление. Все зависит от конкретной модели команд и распределения счетов. Наши 40% нельзя переносить на любой матч с отдельными оценками 60% и 50%.

Разные названия рынков не подтверждают независимость. Разные матчи тоже не доказывают ее автоматически: у событий могут быть общие обстоятельства. Но и общий турнир сам по себе еще не дает численной поправки. Для расчетной связи нужны данные или явно заданная модель.

При работе с историей считайте все ячейки на одной и той же выборке. Нельзя взять победы из домашних матчей текущего сезона, тоталы из всех игр за три года, а пересечение из пяти последних встреч. Полученные доли будут относиться к разным наборам условий.

Два предельных случая, которые легко проверить

Представим победу хозяев и их непоражение за один период. Каждая победа уже входит в непоражение. Совместная вероятность равна вероятности победы: дополнительное условие не отсекает ни одного подходящего сценария. Умножение двух отдельных вероятностей искусственно уменьшило бы ответ.

Теперь возьмем победу хозяев и ничью за то же основное время. Одновременно они случиться не могут, поэтому вероятность пересечения равна нулю. Взаимное исключение не является независимостью, если оба события по отдельности имеют ненулевую вероятность.

Есть и общая проверка здравого смысла. Пересечение не может быть вероятнее любого своего условия. При вероятностях 60% и 50% оно не выше 50%. Нижняя граница равна максимуму из нуля и суммы вероятностей минус 100%, то есть 10%. Одни только отдельные оценки здесь допускают диапазон от 10% до 50%, а не единственный ответ 30%.

Как это связано с коэффициентом купона

Для вероятности 40% цена без маржи равна 1 / 0,40 = 2,50. Для ошибочной оценки 30% получилась бы цена около 3,33. Это учебные справедливые цены при заданных вероятностях. Принципы перехода от оценки шансов к цене разобраны в материале о том, как найти честный коэффициент.

Фактическая котировка комбинации определяется условиями продукта. Например, обычный экспресс может не принимать связанные выборы, а специальный конструктор сочетаний предлагает собственную цену. Возможность добавить два рынка в интерфейсе не доказывает, что вероятность их пересечения равна произведению отдельных вероятностей.

Не смешивайте оценку шансов и расчет уже принятого купона. Если одно условие отменено, начинают действовать правила возврата, а не правило независимости. Это отдельная задача, для которой пригодится разбор экспресса с возвратом.

Перед объединением исходов запишите их точные условия, проверьте включение и несовместимость, затем найдите совместную или условную вероятность. Если у вас есть только две отдельные оценки, пометьте независимость как непроверенное допущение. Формула не восполнит отсутствующее знание о связи событий.